泰勒級數，瞬間洞悉全宇宙

注意看 當我們對一個正方形的面積進行求導 實際上是對二維平面進行了降維 把面積的增量投射到了一維 變成了兩根直線段 所以正方形面積的導數就等於2x 同樣 當我們對一個立方體的體積進行求導 則實質上是對三維立方體進行降維 把體積的增量投射到了二維 變成了三個平面正方形 所以立方體的體積的導數就等於3x² 好 讓我們再進一步 假設在一個四維空間裡存在著一個四維的超立方體 那麼它的四維體積是多少呢? 如果人類的邏輯沒有出現太離譜的錯誤的話 那麼它的體積就必然是x⁴ 那我們再對這個四維超立方體進行求導呢? 這裡有個現成的公式 xn次方的導數就等於nxn-1次方 好 激動人心的時刻到了 對四維超立方體的求導結果是4x³ 它意味著超立方體的增量被投射成了四個三維立方體 分別存在於四個平行世界裡 而我們作為三維空間的人類 只能隨機看到其中一個 是不是很神奇 我們僅用數學推理 就已經推導出了另外三個平行宇宙的存在 而且 如果是更高維的五維空間到三維的投影 那理論上就應該同時存在五乘以四 也就是20個平行宇宙的存在 六維到三維呢? 沒錯 那就是120個平行宇宙 那就假設我們被一個殘暴的外星人綁架到了八維空間 然後對我們說 給你一個點 請算出符合原函數的其他所有點的具體位置 要確保誤差可控 不然就毀滅你們的地球 這時候怎麼辦 我們不知道原函數是什麼 就只有函數上的一個點 這也太難了吧 不過呢 預示不要慌 讓我們先理一下思路 現在的情況是 我們眼前有一個優美的點 並且因為我們身處八維空間 所以我們能夠看到這個點在八維 及以下所有多維空間中的變化率 也就是導數和高階導數 我們把已知的這個點叫A點 然後再在它旁邊找一個B點 然後我們用它們在X軸上的距離 也就是X-X0為邊長 來在想象中構造出各個多維空間中的超立方體 然後從上一個視頻中我們已經得知 對超立方體的每一次球導 都會忽略掉最先趨近於0的分量 而這些被忽略掉的分量呢 會在高階球導中被一一恢復 那麼我們的思路就已經很清晰了 我們只需要把八維及以下所有超立方體投射到一維 再把所有這些投射量加在一起 那麼高維投影就會對低維投影進行補充 那不就可以確定B點的位置了嗎 而B點實質上是我們隨機挑選的任意一個點 所以計算出了B點 實際上也就計算出了所有的點 然後地球就得到了拯救 好 這個思路不錯 那就直接動手寫式子吧 我們先寫下已知點的Y值 假設Y值是A吧 這是一個常數 我們不用太去管它 因為這代表0維投射 0維嘛就是什麼都沒有 它對已知點的函數值不會造成任何影響 所以直接寫成Y值就OK 然後讓我們補充一維空間到一維空間的投影 也就是x-0乘以一階倒數 好 這意味著我們在已有的A值上補充了一維空間的投影 我們離真實值又近了一步 然後我們再接著補充二維空間到一維空間的投影 也就是面積x-0的二次方乘以二階倒數 這意味著我們在剛才的基礎上 又補充了從二維空間投射過來的變化量 非常好 接著補充三維空間到一維空間的投射 三維空間中的超立方體其實就是三維空間中的立方體 我們寫下它的體積x-s0的三次方乘以三階倒數 從四維空間開始 我們的立方體就是真正意義上的超立方體了 不過操作上還是一樣的 繼續用高維體積來乘以高階倒數 得出它在一維空間上的投影 好 感覺不錯 但我們還忽略了一點 那就是高維到低維的投影是存在著平行世界的 比如從三維到二維會產生三個平行世界 二維到一維會產生兩個 所以三維到一維就會產生六個 這個數字實際上是超立方體維度數的階層 由於我們只研究一個平行世界 所以我們需要在每一階的變化量上都除以這個階層 得出單位變化量 最後我們得到的式子就變成了這樣 而這正好就是微積分裂極其重要的一個式子 叫做泰勒極數 是不是很神奇 我們居然在外星人的言行逼供之下 硬是憑實力自己就推導出了著名的泰勒極數 泰勒極數的神奇之處就在於 它可以用多項式來逼近任意一個連續函數 比如當我們看到的多階導數值是這些 那麼我們的超立方體投射出來的曲線 就正好是一個正弦函數 而如果我們看到的高階導數是這些 那麼由超立方體投射出來的曲線 就是一個自然指數函數 並且我們補充的維度越多 式子就越精確 讓我們回頭再重點看一下 我們為補充高維投影寫下的每一項 它們都長成這個樣子 注意了 式子裡的這一部分是一個高階微分算子 那高階微分到底是個啥呢 注意看 實際上它就是高階導數乘以增量超立方體的體積 而我們的x-0的n次方 正好就是這個超立方體的體積 兩項約分就得到了這個結果 這個結果就表示y軸上的一個高階微分 也就是增量超立方體在y軸上的投影 而後我們再除以在全部平行世界裡的投影數量 就得到了我們所看到的單一投影 那麼所有維度空間的投影加在一起 我們就得到了b點在y軸上的精確函數值 是不是很神奇 這個結果讓外星人都目瞪口呆 泰勒極速在科學計算中是極其重要的 特別是對於計算機科學 因為計算機的二進制原理 實際上是不適合進行複雜函數計算的 因而在遇到複雜函數時 最好的選擇就是用泰勒極速去逼近 而泰勒極速的計算完全是由加法和乘法構成 這也正好是計算機最擅長幹的事情 如果您對本視頻中相關概念還有疑問 請在我的主頁裡查找上一集視頻高階導數 本視頻與上一集視頻無縫銜接 好了 到此我們已經完成了外星人的任務 不過由於泰勒極速過於重要 我們會在下一個視頻中 再提供一種更樸素的推導方式 不用再去考慮多重宇宙和平行世界 把腦洞稍微收斂一點 回到我們的代數和幾何的世界 下一個視頻 我們將接著聊神奇的泰勒極速 感興趣的朋友 千萬別忘了點贊加關注 拜拜