10920程守慶教授複變數函數論_第10B講 第一次期中考第4,5,6題

L10B
第一次期中考第4,5,6題
這裡U代表複平面上的單位開圓盤

第4題: Let f be holomorphic on U. Let J={exp(it) : t in [0,pi/6)}. Suppose f is continuous up to J and f(z)=0 on J. Is f identically equal to zero on U? Prove it or give a counterexample.
第5題: Let f be a nonconstant entire function on C. Prove that the image of f is dense in C. (No credit will be granted if you directly apply Picard's little theorem.)
第6題: Let f be holomorphic on U and continuous on the closure of U. Suppose that f is real on the boundary of U. Prove that f is a constant function on U.

0:00 第4題 (常見錯誤)
6:07 第4題 (法一)
7:45 第4題 (法二)
10:38 第5題
11:45 第6題 (法一)
13:01 第6題 (法二)
16:39 第6題 (法三)
20:11 第6題 (法四)